System Sistema binário, decimal, octal e hexadecimal o que é e como funciona

Se você é estudante de Ciência da Computação, eletrônica ou qualquer ramo da engenharia, uma das coisas que deve saber é realizar conversões numéricas no sistema. Na computação, os sistemas de numeração usados ​​são diferentes do que tradicionalmente sabemos, como é o nosso sistema decimal. É por isso que, muito possivelmente, se nos dedicarmos ao campo da computação, programação e tecnologia similar, precisaremos conhecer os sistemas mais usados ​​e como converter de um sistema para outro.

Índice de conteúdo

Como executar conversões de sistema de numeração

É especialmente útil conhecer o sistema de conversão decimal em binário e vice-versa, pois é o sistema de numeração com o qual os componentes de um computador trabalham diretamente. Mas também é muito útil conhecer o sistema hexadecimal, pois é usado, por exemplo, para representar os códigos de cores, chaves e um grande número de códigos de nossa equipe.

Sistemas de numeração

Um sistema de numeração consiste na representação de um conjunto de símbolos e regras que nos permitem construir os números válidos. Em outras palavras, consiste em usar uma série de símbolos delimitados com os quais será possível formar outros valores numéricos sem limite.

Sem ir muito longe nos termos matemáticos das definições, os sistemas mais usados ​​por seres humanos e máquinas serão os seguintes:

Sistema decimal

É um sistema de numeração posicional no qual as quantidades são representadas pela base aritmética do número dez.

Como a base é o número dez, teremos a capacidade de construir todas as figuras usando dez números que todos conhecemos. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Esses números serão usados ​​para representar a posição dos poderes de 10 na formação de qualquer número.

Portanto, poderíamos representar um número da seguinte maneira neste sistema de numeração:

Vemos que um número decimal é a soma de cada valor da base 10 elevada à posição 1 que cada termo ocupa. Manteremos isso em mente para conversões em outros sistemas de numeração.

Sistema binário

O sistema binário é um sistema de numeração no qual é usada a base aritmética 2. Esse sistema é o usado por computadores e sistemas digitais internamente para realizar absolutamente todos os processos.

Esse sistema de numeração é representado apenas por dois dígitos, 0 e 1. É por isso que se baseia em 2 (dois dígitos), e com isso todas as cadeias de valor serão construídas.

Sistema octal

Como nas explicações anteriores, já podemos imaginar o que é isso sobre o sistema octal. O sistema Octal é o sistema de numeração em que a base aritmética 8 é usada, ou seja, teremos 8 dígitos diferentes para representar todos os números. Estes serão: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Sistema hexadecimal

Seguindo as definições anteriores, o sistema de numeração decimal é um sistema de numeração posicional que se baseia no número 16. Nesse momento, nos perguntaremos como obter 16 números diferentes, se, por exemplo, 10 for a combinação de dois números diferente?

Bem, muito simples, nós os inventamos, não nós, mas aqueles que inventaram o sistema em questão. Os números que teremos aqui serão: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. isso totaliza 16 termos diferentes. Se você já definiu o código numérico de uma cor, ele possui esse tipo de numeração, e é por isso que você verá como o branco, por exemplo, é representado como o valor FFFFFF. Veremos mais adiante o que isso significa.

Conversão entre sistema binário e decimal

Como é o mais básico e fácil de entender, começaremos pela conversão entre esses dois sistemas de numeração.

Converter número de binário em decimal

Como vimos na primeira seção, representamos um número decimal como a soma dos valores multiplicados pela potência de 10 na posição 1 que ele ocupa. Se aplicarmos isso a qualquer número binário, com sua base correspondente, teremos o seguinte:

1	0 0	0 0	1	1	0 0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Mas, é claro, se fizéssemos o procedimento como no sistema decimal, obteríamos valores diferentes de 0 e 1, que são os que só podemos representar nesse sistema de numeração.

Mas precisamente isso será muito útil para realizar a conversão para o sistema decimal. Vamos calcular o resultado de cada valor em sua caixa:

1	0 0	0 0	1	1	0 0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Bem, se fizermos a soma desses valores resultantes de cada célula, obteremos o valor equivalente decimal do valor binário.

O valor decimal de 100110 é 38

Nós apenas tivemos que multiplicar o dígito (0 ou 1) por sua base (2) elevada à posição 1 que ele ocupa na figura. Nós adicionamos os valores e teremos o número em decimal.

Se você não ficou convencido, agora executaremos o processo oposto:

Converter número decimal em binário

Se antes fizemos uma multiplicação dos números e uma soma para determinar o valor decimal, agora o que precisamos fazer é dividir o número decimal pela base do sistema em que queremos convertê-lo, neste caso 2.

Executaremos esse procedimento até que não seja mais possível realizar mais nenhuma divisão. Vamos ver o exemplo de como isso seria feito.

Número	38.	19	9	4	2	1
Divisão	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Rest	0 0	1	1	0 0	0 0	1

Este é o resultado de reduzir ao mínimo as divisões sucessivas. Você já deve ter percebido como isso funciona. Se agora pegarmos o restante de cada divisão e invertermos sua posição, obteremos o valor binário do número decimal. Ou seja, começou de onde terminamos a divisão de trás para frente:

Portanto, temos o seguinte resultado: 100110

Como podemos ver, conseguimos ter exatamente o mesmo número que no início da seção.

Número decimal fracionário de conversão em binário

Como sabemos, não existem apenas números decimais inteiros, mas também podemos encontrar números reais (frações). E como sistema de numeração, deve ser possível converter um número do sistema decimal para o sistema binário. Nós vemos como fazê-lo. Vamos pegar o número 38.375 como exemplo

O que devemos fazer é separar cada uma das partes. Já sabemos como calcular a parte inteira, então iremos diretamente para a parte decimal.

O procedimento será o seguinte: devemos pegar a parte decimal e multiplicá-la pela base do sistema, ou seja, 2. O resultado da multiplicação, deve ser multiplicado novamente até obter uma parte fracionária de 0. Se, ao fazer a multiplicação, um número de facção aparecer com uma parte inteira, teremos que usar a fração para a próxima multiplicação. Vejamos o exemplo para entendê-lo melhor.

Número	0, 375	0, 75	0, 50
Multiplicação	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Parte inteira	0 0	1	1

Como podemos ver, estamos pegando a parte decimal e multiplicando-a novamente até chegarmos a 1, 00, onde o resultado será sempre 0.

O resultado de 38.375 em binário será então 100 110.011

Mas o que acontece quando nunca podemos alcançar um resultado de 1, 00 no processo? Vamos ver o exemplo com 38, 45

Número	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Multiplicação	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Parte inteira	0 0	1	1	1	0 0	0 0	1

Como podemos ver , a partir de 0, 80 o processo se torna periódico, ou seja, nunca concluiremos o procedimento porque os números de 0, 8 a 0, 4 sempre aparecerão. Então nosso resultado será uma aproximação do número decimal, quanto mais longe formos, maior será a precisão que obteremos.

Então: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Vamos ver como fazer o processo inverso

Conversão de número binário fracionário para decimal

Esse processo será realizado da mesma maneira que a mudança de base normal, exceto que a partir da vírgula as potências serão negativas. Vamos pegar a parte inteira do número binário anterior:

0 0	1	1	1	0 0	0 0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1, 2 · -2 = 0, 25	1, 2 · -3 = 0, 125	1, 2 · -4 = 0, 0625	1, 2 · 5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Se somarmos os resultados, obteremos:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Se continuássemos a realizar operações, ficaríamos cada vez mais próximos do valor exato de 38, 45

Conversão entre sistema octal e sistema binário

Agora iremos ver como realizar a conversão entre dois sistemas que não são decimais. Para isso, usaremos o sistema octal e o sistema binário e faremos o mesmo procedimento que nas seções anteriores.

Converter número de binário em octal

A conversão entre os dois sistemas de numeração é muito simples, porque a base do sistema octal é a mesma do sistema binário, mas elevada à potência de 3, 2 ³ = 8. Portanto, com base nisso, o que vamos fazer é agrupar os termos binários em grupos de três, começando da direita para a esquerda e convertendo diretamente em um número decimal. Vamos ver o exemplo com o número 100110:

1	0 0	0 0	1	1	0 0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Agrupamos a cada três dígitos e fazemos a conversão para decimal. O resultado final será 100110 = 46

Mas e se não tivermos grupos perfeitos de 3? Por exemplo 1001101, temos dois grupos de 3 e um de 1, vamos ver como proceder:

0 0	0 0	1	0 0	0 0	1	1	0 0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Seguindo o procedimento, pegamos os grupos à direita do termo e, quando chegamos ao final, preenchemos com o número de zeros necessário. Nesse caso, precisamos de dois para concluir o último grupo. Então 1001101 = 115

Converter número octal em binário

Bem, o procedimento é tão simples quanto fazer o oposto, ou seja, passar de binário para decimal em grupos de 3. Vamos vê-lo com o número 115

Valor	1	1	5
Divisão	÷ 2 = 0	0 0	0 0	÷ 2 = 0	0 0	0 0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Rest	1	0 0	0 0	1	0 0	0 0	1	0 0	1
Grupo	001	001	101

Desta forma, vemos que 115 = 001001101 ou o que é o mesmo 115 = 1001101

Conversão entre sistema octal e sistema decimal

Agora vamos ver como executar o procedimento de passar do sistema de números octais para o decimal e vice-versa. Veremos que o procedimento é exatamente o mesmo que no caso do sistema decimal e binário, apenas devemos alterar a base para 8 em vez de 2.

Realizaremos os procedimentos diretamente com termos com uma parte fracionária.

Converter número decimal em octal

Seguindo o procedimento do método decimal-binário, o executaremos com o exemplo de 238.32:

Parte inteira. Dividimos pela base, que é 8:

Número	238	29	3
Divisão	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Rest	6	5	3

Parte decimal, multiplicamos pela base, que é 8:

Número	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Multiplicação	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Parte inteira	2	4	3	6	5	…

O resultado obtido é o seguinte: 238, 32 = 356, 24365…

Converter número octal em decimal

Bem, então, vamos fazer o processo oposto. Vamos passar o número octal 356.243 para decimal:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5, 8 8 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

O resultado é: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Conversão entre sistema hexadecimal e sistema decimal

Em seguida, finalizamos o processo de conversão entre o sistema de numeração hexadecimal e o sistema decimal.

Converter número decimal em hexadecimal

Seguindo o procedimento do método decimal-binário e decimal-octal, o executaremos com o exemplo de 238.32:

Parte inteira. Dividimos pela base, que é 16:

Número	238	14
Divisão	÷ 16 = 14	-
Rest	E	E

Parte decimal, multiplicamos pela base, que é 16:

Número	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Multiplicação	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Parte inteira	5	1	E	B	8	…

O resultado obtido é o seguinte: 238, 32 = EE, 51EB8…

Converter número de hexadecimal para decimal

Bem, então, vamos fazer o processo oposto. Vamos passar o número hexadecimal EE, 51E para decimal:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

O resultado é: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Bem, essas são as principais maneiras de mudar a base de um sistema de numeração para outro. O sistema é aplicável a um sistema em qualquer base e sistema decimal, embora estes sejam os mais utilizados no campo da computação.

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